Green函数在量子物理中定义与广义定义的联系
在物理中可以引用Green函数求解下列形式的线性微分方程
\[[z-\hat{L}(\mathbf{r})]u(\textbf{r}) = f(\mathbf{r})\]那么$u(\mathbf{r’})$可以通过Green函数$G$进行表示
\[u(\mathbf{r}) = \int G(\mathbf{r},\mathbf{r'};z) f(\mathbf{r'}) \text{d} \mathbf{r'}\]这时的Green函数$G$可以被定义为
\[[z-\hat{L}(\mathbf{r})] G(\mathbf{r},\mathbf{r'};z) = \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r'})\]该函数也被称为对应算符$\hat{L}$的Green函数$G$。
略去复数$z$的影响，可以做一个不那么严格的定义
\[\cases{ \hat{L}(\mathbf{r}) u(\mathbf{r}) = f(\mathbf{r}) \\ \hat{L}(\mathbf{r}) G(\mathbf{r},\mathbf{r’}) = \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r'}) }\]其解$u(\mathbf{r})$可以通过Green函数$G$进行表示为
\[u(\mathbf{r}) = \int G(\mathbf{r},\mathbf{r'};z) f(\mathbf{r'}) \text{d} \mathbf{r'}\]经以上推导过程可以在量子力学中定义微扰算符$\hat{V}$ ，其也可被视为态矢量$|\psi \rangle $的函数
\[\hat{V} |\psi \rangle = (E-\hat{H}_0) |\psi \rangle = f(|\psi \rangle)\]那么由Green函数（算符）$\hat{G}$定义，可以得到对应非转移（稳态）项的Green函数
\[\hat{G}_0 = (E-\hat{H}_0)^{-1}\]接下来可以得到$\hat{V}$与$\hat{G}$的联系
\[\langle \psi_i| \hat{G} \hat{V} |\psi_j \rangle = \langle \psi_i | \psi_j \rangle = \delta_{ij}\]即
\[(E_j-\hat{H}_0) \langle \psi_i| \hat{G} |\psi_j \rangle = \hat{V}_j \langle \psi_i| \hat{G} |\psi_j \rangle = \delta_{ij}\]对比最初对Green函数的广义描述，我们可以发现该物理问题数学形式正与Green函数广义描述相符。下面我们将尝试将其解以积分形式表达。对上式两边同乘右矢\(|\psi_j \rangle\)有
\[\hat{V}_j |\psi_j \rangle \langle \psi_i| \hat{G} |\psi_j \rangle = f_j(|\psi_j \rangle ) \langle \psi_i| \hat{G} |\psi_j \rangle = \delta_{ij} |\psi_j \rangle\]等式两边同时对右矢$|\psi \rangle$在$(-\infty, \infty)$范围内积分
\[\int_{-\infty}^{\infty} f_j(|\psi_j \rangle ) \langle \psi_i| \hat{G} |\psi_j \rangle \text{d}|\psi_j \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \delta_{ij} |\psi_j \rangle \text{d}|\psi_j \rangle\]做替换
\[\begin{array}\\ |\psi_i \rangle & \rightarrow & \psi \\ |\psi_j \rangle & \rightarrow & \psi' \\ \end{array}\]由Kronecker $\delta$ 函数与Dirac $\delta$ 函数的关系不难得到$\delta_{ij} = \delta(|\psi_i \rangle - |\psi_j \rangle)$，因此有
\[\int_{-\infty}^{\infty} f_j(\psi') G(\psi, \psi') \text{d}\psi' = \int_{-\infty}^{\infty} \psi' \delta(\psi - \psi') \text{d}\psi' = \psi(\mathbf{r})\]等式右边的波函数$\psi$是位置矢量$\mathbf{r}$的函数，因此
\[\psi(\mathbf{r}) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\mathbf{r'}) G(\mathbf{r}, \mathbf{r'}) \text{d} \mathbf{r'}\]注意到我们在上式中还将$f_j$ 替换成了$f$ 。这是没有影响的，因为将$f_j$ 本身也是一个函数的表示，当式中其他项与$j$ 都无关的时候，其下标$j$ 的去留也变得无关紧要了。
上式与Green函数广义定义是一致的。于是我们对量子物理中的Green函数与广义定义Green函数之间的联系有了更深的认识。由以上推导可以看出，Green函数$G$包含了两个态之间转变的信息，自然与某些物理量紧密联系。