0%

Green函数在量子物理中定义与广义定义的联系

在物理中可以引用Green函数求解下列形式的线性微分方程

那么$u(\mathbf{r’})$可以通过Green函数$G$进行表示

这时的Green函数$G$可以被定义为

该函数也被称为对应算符$\hat{L}$的Green函数$G$。


略去复数$z$的影响,可以做一个不那么严格的定义

其解$u(\mathbf{r})$可以通过Green函数$G$进行表示为


经以上推导过程可以在量子力学中定义微扰算符$\hat{V}$ ,其也可被视为态矢量$|\psi \rangle $的函数

那么由Green函数(算符)$\hat{G}$定义,可以得到对应非转移(稳态)项的Green函数

接下来可以得到$\hat{V}$与$\hat{G}$的联系

对比最初对Green函数的广义描述,我们可以发现该物理问题数学形式正与Green函数广义描述相符。下面我们将尝试将其解以积分形式表达。对上式两边同乘右矢

等式两边同时对右矢$|\psi \rangle$在$(-\infty, \infty)$范围内积分

做替换

由Kronecker $\delta$ 函数与Dirac $\delta$ 函数的关系不难得到$\delta_{ij} = \delta(|\psi_i \rangle - |\psi_j \rangle)$,因此有

等式右边的波函数$\psi$是位置矢量$\mathbf{r}$的函数,因此

注意到我们在上式中还将$f_j$ 替换成了$f$ 。这是没有影响的,因为将$f_j$ 本身也是一个函数的表示,当式中其他项与$j$ 都无关的时候,其下标$j$ 的去留也变得无关紧要了。

上式与Green函数广义定义是一致的。于是我们对量子物理中的Green函数与广义定义Green函数之间的联系有了更深的认识。由以上推导可以看出,Green函数$G$包含了两个态之间转变的信息,自然与某些物理量紧密联系。